その章をざっくり流し読みしてきましたが、記事を書かれた方が何を言わんとしたのかは本人にしかわからないので参考程度に私の思ったことを聞いていただければと思います。
鍵盤を用意して確認していただくとわかりやすいと思います。
前置きとして、〇m♯5の構成音ですが、R,m3,♯5となります。Cm♯5だとド,ミ♭,ソ♯です。
ここで注目していただきたいのがこの「♯5(ソ♯)」という音です。別に言い方があるのに気づきますでしょうか?
この「♯5(ソ♯)」というのは「♭6(ラ♭)」と言い換えることができます。(状況によりそうでない場合もあります)
そうすると別のコードが見えてくると思います。
「A♭(ラ♭,ド,ミ♭)」というコードです。Cm♯5というコードはA♭の第一転回系と構成音が同じなのです。
〇m♯5というコードは常に、吊り上がった5thの音(♯5)を別の音(♭6)に言い換えそれをRとしたメジャーコードの第一転回系となります。(ex.Dm♯5→B♭,Em♯5→C)
そしてほとんどの場合、クリシェなどの狙った使われ方をしないのであれば言い換えられたコード(今回はA♭)としての性格・機能を持つように思われます。そしてその方が解釈として自然である場合が多いです。
> さらにこの先進んでいくと、このコードには実際には別の名前をあてた方がしっくり来ることも分かってきます。
おそらくこちらの文章とつながるのではないでしょうか。