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ネオ・リーマン理論❷ 共通音のネットワーク

By 2023.9.172023.10.10Ⅷ章:超流派の世界

前回はネオ・リーマン理論の基本となる要素を紹介しました。有名なのは「PLR操作」と「トネッツ」ですが…

トネッツ。C-E-Gの長和音は三角形で表される。それにL操作を行うと右上の辺を跨いでE-G-Bの逆三角形に、R操作を行うと左上の辺を跨いでC-E-Aの逆三角形に、P操作を行うと下の辺を跨いでC-E♭-Gの逆三角形になる。ひとつの三角形と、それに隣接する3つの逆三角形が、PLR操作とトネッツを説明する最小限の構成となる。トネッツの最小限の要素

その一方で、まだまだ深掘りする甲斐がありそうなのは、「ヘキサトニック・サイクル」です。

ヘキサトニックの輪 : 6つのコードを時計周りで円周上に並べていく。12時の位置にC+,2時にC-,4時にA♭,6時にA♭-,8時にE,10時にE-。

これ自体はLP操作で6つのコードを繋いだ輪っかにすぎませんが、これが本質的にやっているのは「半音差のコード変形を規則的に繰り返し、数珠つなぎで元のコードまで戻ってくる図を作る」ということです。そういう図は、他にもたくさん作れそうですよね。
操作のパターンはLPに限らないし、またビジュアライズの方法も円環以外に色々考えられるし、コード種だってメジャーとマイナーの三和音に限定すると決まったわけでもありません。まだここには無数の可能性が残されているのです。

1. キューブ・ダンス

さて、今まで「基本PLR操作」として3人を横並びにしてきましたが、実は1人だけ仲間外れがいます。

ネオリーマン理論「この中に一人仲間外れがいま〜すww」

それは言うまでもなく、唯一全音差の移動を伴うR操作です。「声部連結の倹約」がひとつのキーワードである変形理論においてこの差は大きい。実際問題ヘキサトニック・サイクルにおいてもR操作は落選していました。

augを採用する

そしてちょっと無情な言い方をすると、Rがいたせいで見落としていた変形があります。Rtを半音ずらすのはL3rdを半音ずらすのはP。では5thを半音ずらす操作はどうなんだという話です。

CをC aug に変える操作

C⇄Caugの変形。長三/短三和音を基本とするダイアトニックな音楽観を一旦隅に置いておけば、この変形こそL・P操作と等価の倹約性を持つ変形操作として並べられるべき存在かもしれません。

augの特異性

しかもaugには、各コードトーンが等間隔になっていてルートを3つに読み替えられるというかなり重大な特質がありました。Caugなら、これはEaug・Aaugと等しい。そうなってくるとあることに気づきます。すなわち、CだけでなくEとAのコードも同様にして5thを半音上げればCaugに至るのです。そしてC・E・Aと言えば、ちょうど先ほどのヘキサトニック・サイクルで登場した3コードに他なりません。つまり、ヘキサトニック・サイクルに使われる3つのメジャートライアドは、5thを変形すれば単一のオーグメンテッド・トライアドに行き着くことになるのです!

ヘキサトニックの環+aug

(以降は、これが提唱された論文での表記にならいメジャーコードを大文字、マイナーコードを小文字で表します。この方が「+」がaugとごっちゃになる心配もない。)

これは見るからに、面白い発展がありそうな事実です。なんだか、「上野から渋谷へ行くのに山手線をグルッと回ってもいいし、銀座線で突っ切ってもいい」みたいな構図と似ています。augという新しいコードタイプに言及することで、ヘキサトニック環のシステムはさらに複雑なものとなっていきそうです。

minとaugの関係性

では一方で、マイナーコードとオーグメンテッドコードの関係性はどうでしょう?普通に考えれば、このコードをつなぐには3rdを上げて5thも上げてと“2手”かかりそうなところですが、違います。実は“1手”でこの2コード種を繋ぐ裏のルートが存在しているのです。それは、Rtを半音下げる変形です。

Am-G♯aug-C/Gというコード進行。ラ-ソ♯-ソという半音の移動だけで作られている。

マイナーのベースラインクリシェでいつもやってる定番の動きだ! ご覧のとおり、augはメジャーともマイナーとも1音差の関係にあることを、我々は日常から活用しているのでした。通常の理論は根音第一ですから、この関係性を深く論じることはそんなにありません。しかし共通音第一のネオ・リーマン理論では、ここに多大な可能性を見出します。

メジャーコードの時と同様にルートの読み替えを考慮していくと、c,e,aという3つのマイナーコードは、Rtを半音下げれば全員Baugになることが分かります。つまりヘキサトニックサイクルの構成員は、マイナーの3人もまた(メジャーの3人とは異なる)augで合流することになるのです。

ヘキサトニック環で120°ずつ離れたc,e,a♭のマイナーコード3人が、中央に配置されたBaugに繋がる図。

キューブ化する

3つのメジャー、3つのマイナー、2つのaugという合計8個のコード。これらは皆Rt3rd5thを特定の方向に動かすことで8個のうちのいずれか3つの異なるコードへと変形するという、濃密なネットワークを築いています。8個の”点”と、それぞれから伸びる3本の”線”によって全体が相互に繋がっている……。これをビジュアライズしようと考えたときに最適な図形があって、それが立方体です。

やや斜めのアングルから描かれた立方体。8個ある頂点それぞれが音を表し、手前の面の4点は左上から時計回りでC,A♭,A♭m,B aug。奥の面はC,C aug, E, e。

立方体は8個の頂点がみな3本の辺と繋がっていますから、上述の関係性を表現するのにこれ以上ない適役です! 元々のヘキサトニック環はポキポキと折れて複雑な形になってしまいましたが、立体化によるメリットの方が大きいはずなのでこれはやむを得ない犠牲なのである。
たいへん興味深いのは、このキューブにおいてX(右)方向の移動はどの辺であっても常に構成音gがaに変わる変形を示し、Y(上)方向はb→c、Z(奥)方向はe→eをそれぞれ示すということです。何やらこの図から「augが全てのコードの生成源である」みたいな思想強めの理論を提唱できそうな気もする、何かロマンを感じる図画です。

「ハイパーヘキサトニックシステム」の4つの環を全てキューブへと改造すると、下図のようになります。

4つのキューブ

(今回異名同音のスペリングについては参照元の論文の図画に従いました。)

さて、これで8×4=32個のコードがひとつの図に集約……と言いたいところですが、実際そうでもありません。各キューブのaugに注目すると、そこには重複が見られます。B,A,F,Dのaugがそれぞれ2回ずつ登場しているのです。
それもそのはず、あるaugは3つのメジャーコードに接続していると同時に3つのマイナーコードとも繋がっているわけですから、単独で計6個ものコードと半音差で結ばれているのです。だからあるキューブでメジャーコードと接続したaugはそれでお役御免ではなく、別のキューブでまたマイナーコード3個と接続する仕事をさらに果たせるわけです。

さてこうなってくると、図画中でコードが重複して書かれているのは全く美しくありません。ここまで来たら、やるしかないでしょう。キューブの合体を──。

キューブを結合する

キューブを少し変形させると、重複したaugを“のりしろ”のようにしてくっつけて、またも円環状に4つのキューブを数珠つなぎすることができます。

キューブの結合図。キューブを東西南北に配置し、各キューブに2箇所ずつあるaugの箇所をぐーんと引き伸ばすと、錐体のような独特な形状の立体となる。重複したaug同士をのりしろのようにして重ね合わせて繋げると、錐体っぽく変形した4つのキューブが一つの輪のように繋がる。ぐにょーん

これが完成形です! 4つのキューブを引き伸ばして結合させたこの図は、キューブ・ダンスCube Danceという呼称で知られています1。3種に読み替えできるルートを持ち、それゆえ6つのコードと手を繋ぐ。augはここへ来て文字どおり“三面六臂”、さながら阿修羅のごとき活躍を見せています。ぜひ楽器などを使ってこれらのコードが全て半音差で繋がっていることを確認してみてください。

キューブ・ダンス改造版

なお、上図は論文に描かれたものをそのまま参照しましたが、おそらくはキューブ全体をもう少し歪曲させて対辺をすべて平行にさせた方が、augとの距離感や各操作の共通性が把握しやすいかもしれません。

キューブ・ダンス 微調整版ぐぎぎぎぎ

これを張り詰めたキューブと思うとなんだか見ていて落ち着かないですが、こういう形のクリスタルか何かだと思えば安静な気持ちでこれを眺めることができるでしょう。

改造ついでに細かな情報も補足しました。それぞれのキューブ内で平行な関係にある辺の動きは同じ音変化を表しているという性質はキューブを引き伸ばしたとて変わらず残っていて、またこの全体の循環を時計回りする移動が構成音の下行、反時計回りの移動が構成音の上行に必ず対応します。
キューブ・ダンスはどの辺も必ず半音1音の移動を表しているので、あるコードからあるコードまでの変形量が辺の移動数で簡単に測れる点が魅力です。
また当然ながら図中にaugを含むため、augを使用したコード進行を考えるにあたってもアイデアを視覚的・直感的に練ることができるでしょう。

キューブ・ダンスで発想を身近に

例えばaugと半音進行を用いた有名な例として、ワーグナーの『ワルキューレの騎行』があります。

オペラ歌手の歌い出しのコードがいきなりBaugで、これはまずEへと解決します。しばらくしてまたBaugが登場し、今度はCへと進みます。
これは分析としては機能和声論で十分解釈可能で、最初のBaugはEへのドミナントであるBが5thの「上方変位」したもの。2度目もCへのドミナントであるGを同様にしてaug化してさらに第一転回形にしたもの。どちらもDTの機能的な進行で、根音をすり替え可能なaugの性質を活かして、Baugという単一のコードからEとCという異なる場所へと着地しています。

……と、言われればその通りなのですが、ではそういう進行が自分で作れるかと言われると、なかなかハードルが高いものがあります。しかしキューブ・ダンスによって半音連結のネットワークを俯瞰すれば、BaugがCへもEへも比較的容易に接続できるコードだという情報は、理論的理解に先立ってまず視覚的に飛び込んできます。

ワルキューレの騎行とキューブ・ダンス

なんならAにも同じ距離感覚で行けるなとか、EやCから逆にAaug方面へ抜けて向こうのキューブへ渡ってもいいとか、様々な進行パターンの可能性がすぐに浮かんできますね。五度圏が5度進行やダイアトニック音楽に関する様々なビジュアルイメージを提供してくれたように、キューブ・ダンスは3度進行や共通音関係のイメージを手助けしてくれるでしょう。
ネオ・リーマン理論は現在主に分析ツールとして評価されているかと思いますが、制作の面においても「中心軸システム」と同じくらいはインスピレーションを与えてくれそうです。

2. パワー・タワーズ

ここまでずっと三和音だけをターゲットに扱ってきましたが、半音差の関係といったらセブンスコードでも同様のことは言えます。彼らもまた半音差で繋がっていますよね。

セブンスコードたち。dim7,ハーフディミニッシュ,マイナーセブンス、セブンス、メジャーセブンス、オーグメントセブンスはみな半音差である

さらに先ほどのように「ルートをずらす」という変形まで視野に含めると、ハーフディミニッシュ・マイナーセブンス・ドミナントセブンスの3種で次のようなネットワークを構築できます。

異ルートのセブンスの連結

ポイントは右下方向への変形で、Aø7のルートを半音持ち上げればCm7の第三転回形となり、そのルートを半音あげればE7の第三転回形となります。こうして短3度離れたルートのコードたちが繋がり、そしてオクターブを4分割するという短3度の性質上、4種のルートを辿るとまた元のAm7に戻ってきました。
ここではC,E,F,Aの4ルートだけが登場しているので、他にC,E,G,Bを繋げたもの、D,F,A,Bを繋げたものが作れますね。

オクタトニック・タワー

せっかく循環構造にあるのでこれも循環する図画にしたいところですが、3列あるこの状況から円環にしたりするのはちょっと大変。そこでもう単純に下から上へ線を伸ばしてしまって、電波塔のような形状にします。

搭状のネットワーク

線が交差してしまったのは難点ですが、まあ図としてはシンプルに収まりました。この図画は、オクタトニック・タワーOctatonic Towerと呼ばれます2

ヘキサトニック・サイクルの6つのコードがたった6つの音の組み合わせで成り立っていたように、オクタトニック・タワーの12個のコードはたった8音の組み合わせで出来ており、それを集めるとドミナント・ディミニッシュ・スケール(コンディミ、H-Wディミニッシュ)になります。

Dominant Diminished

上図のタワーにある12個のコードが全てこの8音の組み合わせで作れることを確認してください。

8音からなる塔なのでオクタトニック・タワーということでしょう。さて、CのコンディミスケールはCo7とCo7というふたつのdim7のコードトーンから成ります。そうであれば、上記のタワーの図にその2つのディミニッシュ・セブンスを書き加えてもよさそうですよね。これらと半音で繋げられるコードを探してネットワークを構築すると……

オクタトニックタワーの左側の4つのハーフディミニッシュは全員同ルートのdim7に、右側の4つのドミナントセブンスは、半音上ルートのdim7に半音差で繋がる。

こうなります! ハーフディミニッシュの7thを落とせばディミニッシュになるのは当然ですが、ドミナントセブンスのRt上げでもディミニッシュになります。これはV7→Vo7のような進行でおなじみの知識ですね。そしてdim7特有のルート可換性により、単独のdim7が4つのコードと接続することになります。

タワーを結合する

さてここまで来ると、先ほどのキューブ・ダンスとほとんど同じ筋書きになってきていることにお気づきでしょうか? 上図ではCo7がハーフディミニッシュと接続していますが、しかし何か別のドミナントセブンス4つとも半音差で繋がるはずです。それはきっと別のタワーの構成員であり、dim7は2つのタワーを橋渡しする存在となる。そうしてタワー同士を繋げていくと……

3つのオクタ・タワーを120°ずつ回転させて円状に並べる。dim7を中継地点として、各タワーを繋ぐ。キュイイイイイィン

こうなります!! キューブ・ダンスと同様に、dim7が多くのコードと半音差で繋がる関係であることがよく可視化されました。この図はパワー・タワーズPower Towersと呼ばれます3

この図示だと先ほどのキューブ・ダンス図とは逆で、時計回りの動きがピッチの上行、反時計回りが下行を常に表します。そういう意味では、この図は左右反転させた方が先ほどのキューブ・ダンス図とより統一感があるかもしれません。

メジャーセブンスを加える場合

なお、基本コード種でありながらここまでノケモノにされていたメジャーセブンスも、一応IVø7→IVΔ7に代表されるように、ハーフディミニッシュからルート下げで繋がるというそこそこ大事な特徴を持っています。dim7のような集約性こそないものの、メジャーセブンスもこのタワーの橋渡しをする最低限の能力は持っているのです。それも含めて図にまとめると、ちょっと線がクロスしてはしまいますが、一応次のような形にできます。

パワータワーズ・改造版(※これはこの記事独自の図案です)

aug7やmΔ7こそいないものの、主要なセブンスコードたちの半音差ネットワークを平面上にまとめることができました。ほか、何気なくø7と7との中間にいる「フランスの六」をこの図内に加えたものなども提案されているようです。

このように、どこまでの和音を視野に入れるか、何の接続を第一にするかといった観点の違いから実に様々なビジュアライズが可能です。ネオ・リーマン理論では他にもまだまだこの手の図画が制作されていて、コードの様々なネットワークを可視化する試みは、ネオ・リーマン理論の中のホットなトピックであり続けています。

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