度数と倍音

コード編 Ⅶ章:古典の世界

#1.ようこそ古典の世界

さて、それではここからいよいよ古典派理論の本論に入っていきます。伝統的な古典派の書籍では、まず最初に「度数」について詳しく解説するのが普通です。ハーモニーの原理をより深く理解していることが、和声を学ぶうえでは重要なのです。
ここでもその慣習に従い、まずは度数について詳しく取り扱いますね。基本の復習から始まり、これまで触れて来なかった科学的な側面にも切り込みます。

#2.度数と響き

これまでもコード編・メロディ編で、度数と響きの関連性については述べていますが、改めて確認しますね。

度数
  • 1度は、言うまでもなくルートと完全に協和します。
  • 3度は、和音の長短を司る重要な度数です。
  • 5度は、ルートとよく協和し、ルートの響きを補強します。
  • 7度は、ルートに対し適度な濁りを生じます。
  • 2度は、ルートとぶつかり強い不協和を生みます。
  • 4度は、5度と同じく「完全音程」を作る音度ですが、5度ほどは協和しません。
  • 6度は、3度と同じく長短に影響する音度です。

こういった話は、調性引力論の「シェル」のところでも少し登場しましたね。まあもちろん他に「増・減」の音程もありましたが、ここでは割愛。

和音の転回

今さらの確認になりますが、3度の音程はひっくり返すと6度になり、4度はひっくり返すと5度に、そして2度は7度になります。また長・短の属性も必ずひっくり返るという法則があります。

転回

完全音程は、ひっくり返しても完全音程のまま。
「ひっくり返す」と言わず、「片方をオクターブ上下させる」と言った方がピンと来る人もいるかもしれません。例えば「3度上のハモり」を1オクターブ下げると、「6度下のハモり」に変えることができます。

ハモりチェンジ

ですからここに、「度数のペア関係」のようなものがあるわけですね。

  • 彩り役としての3度・6度
  • 補強役としての4度・5度
  • 濁り役としての2度・7度

これをハッキリ明示するのはここが初めてですが、既にもう何となく分かっていた人も多いのではないでしょうか? このように音の上下関係をひっくり返す行為のことを、和音の転回Inversionと言います。

長短の響きを付加する3度や6度を用いて音を重ねることは、曲の彩りをより豊かにします。歌メロのハモリで3度が最も愛用されるのも、それによってメロディラインがより華やかに彩られた感覚を我々の耳にもたらすからです。

逆に、5度は長短がない代わり、パワーを補強する働きがあるということは、「パワーコード」の時からもう明らかなとおりです。

「新しい和声」では、3度を「柔らかい響き」、完全5度を「硬質な響き」と称しています。この「音が柔らかい・硬い」という感覚、あるいは「音の彩り」という感覚。これが、より厳密な音の重ね方において極めて重要になって来るということを、知っておいてください。

#3.倍音と協和関係

とはいえ、「柔らかい」「硬い」の一言で片付けてしまうのも、なんだか釈然としませんね。もちろん古典派の学者たちも、そんな「雰囲気」で話を進めていったわけではありません。きちんと科学的な考察も重ねたうえで出来上がっています。

だから、少し本論からは逸れてしまうのですが、この辺りでちょっとだけ音響学(Acoustics)の話にも足を踏み入れることにしましょう。まあ本編とは関係ない科学の話なので、興味のない方は読み飛ばしてしまってかまいませんよ。


周波数と音程

音とは、空気の振動。音の高さは、その振動の速さ(周波数)によって決まるというのは、理科の授業でやったかと思います。


こちらは、周波数220hzの音です。音には色々なサウンドがありますが、これは世界で最も単純な音波である、「サイン波」を、Maxという音響ソフトを使って鳴らしています。

サイン波

高校で数学を学んだ人は分かると思いますが、このシンプルに波打った音の形は、sinの関数で表すことが出来るので、サイン波と呼ばれる。

220ヘルツっていうのは、1秒間に220回振動してるってこと。220Hzは、音程でいうと「ラ」の音になります。一般的にはこの高さのことを「A3」と呼びます。そして、周波数を2倍にすると、ちょうど1オクターブ上のラになるという法則があることも、理科の時間でやったかと思います。


これが440Hzの音です。これは数字が1つ増えて「A4」と呼ばれます。じゃあ、3倍するとどうなるんでしょうね? またオクターブ上になるんでしょうか?

これが3倍の660Hz、「E4」です。ラじゃなくて、ミの音になっています。まあ考えてみれば当然で、「周波数を2倍にするとオクターブ上がる」だから、440Hzのオクターブ上を鳴らしたかったら、その2倍の880Hzにしないといけません。

2倍2倍


これが880Hzで、「A5」。1そうすると次に気になるのは、220Hzを5倍にした、1110Hzの音がどうなるかですね。

これは、また新しい音程ですね・・・これはド♯です! 「C♯5」の音程になるんですね。ここまでの話を表でまとめるとこうです。

周波数 倍率 音程
220Hz ×1 A3
440Hz ×2 A4
660Hz ×3 E4
880Hz ×4 A5
1110Hz ×5 C#5

グラフで言えば、こうなる。

まとめ

さて、理科の実験はもうおしまいです。これを通じて何を確認したかったかというと、ある周波数を倍々にしていって真っ先に現れる別の音程が「完全五度」だということ。
周波数の比率が単純であるということは、和音にした時の響きもそれだけ単純明快に感じるということが一般に認められています。


改めてこちらは、220Hz・440Hz・660Hzを同時に鳴らした和音です。サイン波同士が混ざり合ってひとつの音のように聴こえてしまっているかもしれませんが、よく聴くと複数の音程が同時に鳴っています。
親しみやすい言い方でいえば、ベース音と、そのオクターブ上の音と、さらにその完全五度上ってことですね。

1-8-5

言うまでもなくこれは「パワーコード状態」ですから、とてもストレートな響きがします。この周波数上の関係性から生まれる性質を、ちょっと詩的に表現したのが「硬い響き」という言葉なのです。
そして、完全五度の次に現れるのが「長三度」であり、この3つでメジャーコードが出来上がるという点も見逃せません。


周波数の比率は3:4:5で、三和音で作る周波数比率としては最もシンプルなのです。そして、このまま6倍,7倍,8倍・・・と進んでいくと、7度や9度といった濁りの音程が登場することになります。

そんなわけで、最終的な「硬い」という言葉はやっぱり雰囲気の話ですが、ただそのバックグラウンドにはこういう科学的な部分が潜んでいるんだということです。こういった事象を頼りにして、古典派は理論を構築していったわけです。

倍音と倍音列

こんな風に、ある周波数を基準として、そこから周波数を整数倍した高さの音のことを、「倍音Overtone」といいます。そして、周波数を2倍にしたものは「第2倍音」、3倍にしたのは「第3倍音」などと呼ばれます。

また、倍々にしていく大元の周波数のことを基音Fundamentalと呼びます。

周波数 倍率 音程 呼び名
220Hz ×1 A3 基音
440Hz ×2 A4 第2倍音
660Hz ×3 E4 第3倍音
880Hz ×4 A5 第4倍音
1110Hz ×5 C#5 第5倍音

そして、この「倍音」たちを順番に並べていったものを、倍音列Overtone Seriesといいます。

倍音列Cを基音にして第19倍音までを並べた楽譜

この「倍音列」は、音楽を科学的に考えるにあたってのとても重要な鍵であり、また唯一の拠り所であるとも言えます。

科学的考察の一例

たとえばメロディ理論の「傾性」に関して、なぜミとソが低傾性、レとラが中傾性、シが強傾性、ファが最強傾性になるのか? どこかにその根拠を求めたいとき、この倍音列が引っ張り出されてきます。

倍音列(抜粋)

これは倍音列の中で新しいピッチが登場するところだけを抜粋したもの。そうすると先述のとおりまずソとミが足早に登場し、そのあとレ、ラ。遅れてシ。ファは登場しないことが分かります。この順序って、まさに傾性の強弱関係と一致していますよね。
ここから、「調の中心となる音との周波数の比率が単純であれば良く協和するわけだから、ソやミは低傾性となるのである」なんて、それらしいことが言えるわけです。もちろんコレは科学的な証明にはなっていませんが、推論を進めていくうえでのヒントとなるわけです。

誤差に注意

ただ注意してほしいのが、5倍や7倍といった倍音においては、ぴったりその音の周波数にはならないってことです。例えば440Hz(ラの音)を7倍すると、3080Hzになります。それは音階でいうと高い「」であるとどこに行っても説明されますが・・・厳密にいうと、現代の一般的なチューニングでは、その「ソ」の音は3135Hzなのです。

ずれ

こういうことです。そこそこの誤差ですよね。だからこの「倍音」の理論には、少し根本的な脆さがあったりもします。

#4.倍音と音色

また、「倍音」という言葉にはまた別の意味合いを持った使われ方をしているので、その点にも注意が必要で、それがなおのことややこしいです。ここまで来たからには、それも解説しないわけにはいかないので、もう少しこの「倍音」の話をいたします。

こちらは先ほどの220Hz・440Hz・660Hzを同時に鳴らした音ですが、やっぱり絶対これ単音に聴こえますよね。「ちょっと音色が分厚くなった単音」です。でも周波数アナライザーで確認すると、ちゃんと3つの山があります。

3倍音

山は3つあるのに、音は1つに聴こえる。これって実は、当たり前のことなんですよ。

サイン波の重なりと音色の関係

基音となるサイン波に対し、整数倍周波数の倍音たちを混ぜていくと、波どうしは混ざり合って、私たちの耳には和音ではなく「音色の変わった分厚い音」に聴こえる。これは音響学の基礎知識のひとつです。

17倍音

こちらは第17倍音までを混ぜていった例です。17個も混ざったわりには、やっぱり一つの音にしか聴こえませんね。むしろ17個も混ぜているからこそ、それぞれのピッチ同士がぶつかりあい共鳴し、唸りを生んでひとつの音色と化しているのです。

64倍音

64倍音まで混ぜると、いよいよシンセサイザーでよく聴くようなサウンドになってきました。220Hzの64倍だと14080Hzですから、ちょうどシンバルなんかと同じ高周波が混ざっている状態なわけで、必然的にギラギラした音になります。

これをもしチューナーにかけたら、きっと「この音は220Hzだ」と言うでしょう。でもそれはベースとなる基音が220Hzだという話であって、そこには実にたくさんの「隠れた音」が鳴っていて、それが「音色」を決定しているわけです。

これって実は電子的な音響合成に限った話ではなく、実はあらゆる楽器について同じことが言えます。つまり、チューナーが教えてくれるメインのピッチ(基音)とは別に、それを整数倍したたくさんの倍音が同時に鳴っていて、その配分が音色を決定しているのです。

チェロ

ただし、自然界のそれはシンセサイザーが作る音色よりも遥かに複雑。こちらはチェロの音ですが、実に細かく倍音が混ざり、しかも音の出方にも揺らぎがあることがよく分かります。
いくらコンピューター技術が発達した現代においても、このような複雑な倍音構成をエミュレートすることは難しく、それゆえ楽器の音をコンピューター演算で再現するようなソフトは、未だ市場にほとんどないわけです。

ちなみに、整数倍でない周波数が混ざっていくとサウンドはどんどんノイズに近づいていきます。

ノイズ

こちらはホワイトノイズの周波数分析。雲のように均等に広がっているため、ピッチ感が存在しない。ピッチがない音はノイズとなるわけです。パーカッションのサウンドなんかもこのような周波数の出方をしますし、先ほどのチェロでも、弦が擦れる音なんかはノイズであり、それが音色の豊かさに繋がっています。

「倍音」の別な使われ方

ハイ。それでですね、何が要注意なのかと言うと、「倍音が音色を決める」という話から派生して、音色の感じや高周波数帯域の音のことを漠然と「倍音」と呼ぶ人が少なからずいるということです。
「このヴァイオリンは倍音が豊かだ」とか、「もっと倍音を響かせる歌い方をしよう」とかね。正直、あまり褒められた使い方ではありません。こんなの「音色」とか「高周波数帯」って言えばいいような場面ですから、ただ難しい言葉を使いたい人という感じだ。

ですから、そういった人間の軽はずみな「倍音」と、ここで述べた純粋に数学的な「倍音」は、きちんと区別して理解する必要があるわけです。


倍音の話がずいぶん長くなってしまいましたが、本格的な音楽理論を知っていく中でこの「倍音」には必ずぶち当たるものなので、そろそろ紹介してもいい頃かなということで、ここで登場させました。今は忘れてしまっても構いません。今後どこかで科学的な話題が出てきたときに、この話を思い出してもらえれば十分です。

何はともあれ、何百年も前の人たちがこうやって面倒な科学的部分を研究してくれたことで、我々はそこから発展していった理論の恩恵に預かっているわけですね。そして、度数ごとにカラーや質感の違いがあるという点に一層意識的になったうえで、先へ進んでいきましょう。

総括
  • 二音のハーモニーは度数によって大きく変わり、オクターブのユニゾンや完全五度はとてもストレートに協和します。
  • 5度、8度のサウンドの単純さは、科学的に見ても多少説得力のあるものといえます。
  • ある音を「基音」として、その周波数を整数倍した音たちを「倍音」といいます。
  • 「倍音」は、様々な音楽理論を科学的に考証するにあたっての拠り所となっています。

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