音楽理論がよくわからないとのことなのでなるべく丁寧に説明しましたが、わかりづらかったらすみません。遅筆ではありますが返信いただければ再度説明します。

まずⅣ→Ⅴ（Ⅴ△またはⅤ7）→Ⅲ(Ⅲm、Ⅲ△またはⅢ7)→Ⅵmという動きについて。

分析の一例ですが、Ⅳ→Ⅴ→Ⅵmという偽終始（Ⅴ→Ⅰの強進行の代わりにⅤ→Ⅵと動くものを偽終始と言います）のカデンツに、Ⅵmへ向かうドミナントモーション（セカンダリードミナント）を追加したものと考えられます。

または、並行短調のⅥ♭→Ⅶ♭→Ⅴ→Ⅰmと考えることもできます。

Ⅳ→Ⅴ7→Ⅲm7→Ⅰmは、それとは少し違うものに見えます。というのも、Ⅰが短三和音の短調の進行だからです。一例として、Ⅳ△7→Ⅴ7→Ⅰm7の進行をベースとして、Ⅴ7→Ⅰm7の解決を遅延させたものと解釈できます。

Ⅴ7→Ⅰm7（inC）におけるベースを除く四音の進行として、例えばこんなものを考えてみましょう。

F→E♭

D→C

B→B♭

G→G

全ての声部が半音または全音で動く、滑らかな進行です。このうち、F→E♭の全音をF→E→E♭と半音で繋ぎ、D→CとB→B♭をその分遅らせると、次のようになります。

F→E→E♭

D→D→C

B→B→B♭

G→G→G

ここで、中間の4音に注目すると、Em7ができています（今はベースは度外視していますのでオンコードでは書いていません）。

このように、Ⅳ△7→Ⅴ7→Ⅰm7という長調から短調へ移行する進行を、より滑らかに繋ぐためにⅢm7を挟んでいる、と考えることができます（クラシック系の理論では、こういうのを「偶成和音」と言います）。３度下行×2という、進行感の弱い進行なので、長調と短調の行き来を和らげる目的で使っているのではと思います。

私がクラシック系の理論を最初に学んだのもあって、クラシック的な解釈にはなりましたが、一つの例として理解していただければ。また、これとは別の解釈も可能であると思いますので他の方の書き込みも待ってみてください。